雑学界の権威・平林純の考える科学

　交差点にあるLED信号機をじっくり眺めてみると、ほとんどすべてのLED信号機で、LEDの配置が「規則正しい格子には沿っていない」ということに気づきます。海外ではどうかわかりませんが、少なくとも日本で見かけるLED信号機は、縦と横に一定間隔で規則正しく並べられているのではなく、中央から放射状に（けれど少し不規則に）並んでいることがわかります。そこで、今日は、LED信号機のLED配置のヒミツについて考えてみることにします。

　緑・黄・赤といった「丸い信号灯」をLEDを並べて作ろうとするとき、ひとたび「綺麗に丸く見えること」にこだわってしまうと、「縦と横に一定間隔で規則正しく並べるわけにはいかない」ということに気づきます。 普通、信号灯は２００個くらいのLEDを並べて「一個の丸信号灯」を形作っています。２００個くらいのLEDを縦と横に一定間隔で規則正しく並べようとすると、およそ十数個×十数個という配置でLEDを並べることになります。つまり、それは小アイコンでドット絵師が丸いアイコンを描くのと同じような話です。しかし、右の画像は（たとえば）１４×１４個のLEDを並べて緑（青）信号を描いてみたものですが、なかなか「丸い信号灯」には見えないことがわかると思います。あるいは、海外の信号灯の例を右下に貼り付けてみましたが、この（LEDが三角メッシュ上に等間隔に配置された）信号灯は何だかギザギザに見え・丸くないように見えてしまいます。

　そうした結果、（信号灯を綺麗に丸くすることにこだわってしまうと）たとえばLEDを幾重にも並ぶ同心円上に並べて信号灯を作るといった作り方を用いることになります。しかし、「LEDを幾重にも並ぶ同心円上に並べて信号灯を作る」ということも、実際にやろうとすると結構難しい問題であることがわかります。なぜかというと、「（信号灯内部に変な模様・方向性を持たせないようにしようとすると）縦・横ともにLEDを等間隔に並べなければなりませんが、「同心円上にLEDが等間隔に配置されるような条件」といったものは、ちょっと考えてみると「不可能であり得ない条件だ」ということに気づくからです。

　たとえば、信号灯の中心に１個LEDを置き、そのLEDを中心として半径ｒの円を考えてみます。灯内部に変な模様・方向性を持たせないように、縦・横ともにLEDを等間隔に並べるためには、少しの単純化を行うと、（最初のLEDを中心とした）半径ｒの円上に、距離ｒおきにｎ個のLEDを配置すればよい、ということになります。しかし、半径ｒとなる円の一周長は２πｒですから、（距離ｒおきにｎ個のLEDを配置するために）その長さ＝２πｒをｒで割ってもその答えは整数にはなりません。それはつまり、同心円上にLEDが等間隔に配置するということは不可能だ、ということです。

　具体的には、半径１の円は、長さが２π×１＝6.28….なので、その円上に（距離１で等間隔にLEDを配置しようとしても）上手く配置することができず、もしも距離１で等間隔に６個のLEDを置くと0.28ほどの長さが余ってしまい、その長さを吸収するためにはLEDの間隔を約1.04倍せざるをえない…という具合です。

　その結果、もしもLEDを配置する同心円間の間隔と、円上に並ぶLEDの間隔は同じではなくなり、縦と横に異方性を持つことになります。 もしも、「円上に並ぶLEDの間隔」の方が「同心円間の間隔」よりも小さくなってしまうと「バームクーヘンのように同心円が並んだ信号灯」に見えてしまいますし、「同心円間の間隔」の方が「円上に並ぶLEDの間隔」より小さくなってしまうと、中心から放射線が強く伸びるような模様に見えてしまうのです。

　だから、LEDで作った信号灯は「外形は丸く見えるけれど、その丸の内部には模様・方向性が見えてしまう」ということになります（参考：LED信号機図鑑）。ある信号はバームクーヘンのように見え、またあるものは放射線のように見え…それはπという不思議な存在のためと考えてみるのも、少し面白いとは思いませんか？